الإحصاء

إحصاء تغير عدم اليقين

توزيعات جاما، والشبكات العصبية، والمهمة الشاقة المتمثلة في التنبؤ بعالم يغير رأيه باستمرار.

مقال١٥ أكتوبر ٢٠٢٦محمد السماحي7 دقائق للقراءة

كلمات مفتاحية: superstatistics · Gamma distribution · probabilistic forecasting · heavy-tailed returns · neural networks · changing volatility

A time-series forecast with uncertainty bands widening around volatile observations.

في هذا المقال

إحصاء تغير عدم اليقين

توزيعات جاما، والشبكات العصبية، والمهمة الشاقة المتمثلة في التنبؤ بعالم يغير رأيه باستمرار.

لنفترض أن نموذجك يتوقع أن يكون الغد مشابهاً لليوم. توقعٌ دقيقٌ تماماً. ثم يأتي إعلانٌ غير متوقع، فتتقلب الأسعار، ويصبح منحنى النموذج المُطابق تماماً مجرد سجل تاريخي.

قد يميل المرء إلى إلقاء اللوم على الصدفة. لكن الأجدى هو التساؤل عما افترضه النموذج. هل سمحنا لمستوى عدم اليقين بالتغير، أم أننا منحنا كل يوم نفس التباين، آملين أن يتعاون العالم؟

يربط هذا السؤال بين الفيزياء الإحصائية، وتوزيع غاما، والشبكات العصبية. وتدخل مفاهيم الكم أيضاً، وإن كانت تحتاج إلى تعريفٍ أدق من مجرد «كل شيء غير قابل للتنبؤ، وبالتالي فهو كمي».

يبدو المتوسط جيدًا

تخيل عوائد السوق لأسبوعين. أحدهما هادئ، والآخر يشهد مكاسب وخسائر كبيرة تكاد تتعادل. قد يكون متوسط كليهما قريبًا من الصفر. لكن أحدهما فقط يدفعك لمراجعة محفظتك الاستثمارية أثناء العشاء.

غالبًا ما تُظهر العوائد المالية تكتلًا في التقلبات: تميل التحركات الكبيرة إلى الحدوث بالقرب من تحركات كبيرة أخرى. كما تميل توزيعاتها إلى امتلاك ذيول سميكة، مما يُعطي احتمالية أكبر للتحركات المتطرفة مما يُشير إليه التوزيع الطبيعي ذو التباين المماثل. وقد وثّق راما كونت (2001) هذه الخصائص المتكررة عبر مجموعات البيانات المالية.

أحد التفسيرات المحتملة يكمن في دمج بيئات مخاطر مختلفة. قد يصف توزيع ضيق فترة هادئة بشكل معقول، بينما تحتاج فترة مضطربة إلى توزيع أوسع. بدمج هاتين الفترتين، قد يحتوي التوزيع الناتج على مشاهدات أكثر تطرفًا مما يُشير إليه نموذج التوزيع الطبيعي وحده.

حتى التباين لا يُعطي الصورة كاملة. فقد يتشارك توزيعان في المتوسط والتباين، بينما يختلفان اختلافًا كبيرًا حول مدى تكرار حدوث يوم عصيب.

يُوفر علم الفيزياء إطارًا لهذا الغرض

قدّم بيك وكوهين (2003) مفهوم الإحصاء الفائق لوصف الأنظمة التي يعتمد سلوكها المحلي على مُعامل مُتغير، مثل مقلوب درجة الحرارة. تبقى الظروف مستقرة تقريبًا محليًا، بينما يتغير المُعامل البيئي بوتيرة أبطأ. ويُنتج متوسط هذه الظروف التوزيع الكلي.

لنأخذ رحلة تنقلك اليومية كمثال. يختلف وقت السفر حتى في ظل ظروف المرور العادية. وتُغير ساعات الذروة الظروف نفسها. إذا جمعنا جميع الرحلات في مجموعة بيانات واحدة، فسيتعين على توزيع واحد أن يُراعي كلا مصدري التباين. قد تكون دقة تطبيق الملاحة مُذهلة، لكن وقت وصولك يبقى أقل ثباتًا.

يكمن التمييز الإحصائي بين التوزيع الشرطي، الذي يصف النتائج بناءً على الحالة الراهنة، والتوزيع الهامشي، الذي يجمع الحالات المُحتملة. يتطلب الإحصاء الفائق أيضًا فصلًا بين المقاييس الزمنية: يتكيف السلوك المحلي بوتيرة أسرع من تغير المُعامل البيئي. يشرح بيك وكوهين وسويني (2005) كيفية دراسة هذا الافتراض في السلاسل المرصودة.

يُصبح توزيع غاما جزءًا من المعادلة

لنفترض أن $X$ يُمثل العائد بعد إزالة شرط الموقع. ولنفترض أنه يتبع التوزيع الطبيعي بمعامل موجب $\tau$ يُسمى الدقة. الدقة هي مقلوب التباين، لذا فإن انخفاض الدقة يعني زيادة عدم اليقين. الآن، لنفترض أن الدقة نفسها تتبع توزيع غاما:

\begin{aligned} X\mid\tau &\sim \mathcal{N}(0,\tau^{-1}),\\ \tau &\sim \operatorname{Gamma}(\alpha,\beta). \end{aligned}

حيث $\alpha$ هو معامل الشكل و $\beta$ هو معامل المعدل، وكلاهما موجب. يُعد توزيع جاما خيارًا مناسبًا لأن الدقة يجب أن تكون موجبة. أما العوائد، التي قد تكون سالبة، فتتطلب دورًا مختلفًا في النموذج. من المؤكد أن إعطاء كل شيء توزيع جاما سيبسط الإجراءات.

للحصول على توزيع العائد الإجمالي، يتم حساب المتوسط على قيم الدقة الممكنة. هذا هو التهميش، حيث يقوم التكامل بحساب كمية غير مُلاحظة:

\begin{aligned} p(x) &= \int_0^\infty p(x\mid\tau)\,p(\tau)\,d\tau,\\ X &\sim t_{2\alpha}\left(0,\;\text{scale}=\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}\right). \end{aligned}

النتيجة هي توزيع Student's $t$ . أدى تغير عدم اليقين إلى ظهور ذيول سميكة من سلوك طبيعي مشروط. عند دقة متوسطة ثابتة، تعني قيمة $\alpha$ الأصغر تباينًا نسبيًا أكبر في الدقة وذيولًا أثقل. المقياس أعلاه ليس الانحراف المعياري: عندما $\alpha>1$ ، يكون التباين $\beta/(\alpha-1)$ .

في هذه المقارنة، $\beta=\alpha-1$ ، لذا فإن تباين كلا المنحنيين يساوي $1$ .

الشكل 1: غيّر معامل الشكل $\alpha$ لتوزيع غاما مع إبقاء التباين الهامشي مساويًا للواحد. تسمح قيمة $\alpha$ الأصغر بتباين أكبر في الدقة، وتنتج ذيولًا أثقل.

للمقارنة، قارن متغيرًا طبيعيًا بمتغير توزيع $t$ للطالب ذي خمس درجات حرية، مُعاد قياسه ليُصبح له نفس المتوسط والتباين. على مدى 1000 مشاهدة، يبلغ متوسط عدد القيم المتوقعة نظريًا لكل منهما، بعد ثلاثة انحرافات معيارية، حوالي ثلاثة واثني عشر على التوالي. نفس التباين؛ أسباب مختلفة تمامًا للقلق.

يُوضح هذا الحساب الافتراضات، بدلًا من التحقق من صحتها. وجد شو وبيك (2016) أن الإحصاءات الفائقة لمربع كاي، التي تتضمن حالة خاصة من توزيع جاما، كانت فعالة للعوائد اليومية في بياناتهم. أما على فترات دقيقة، فقد كان التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي أكثر فعالية. لا يزال يتعين على الاشتقاق الدقيق أن يصمد أمام تحليل البيانات.

تُوظَّف الشبكة العصبية في مهمة أكثر فائدة

لا يُمكن لتوزيع غاما وحده أن يُخبرنا ما إذا كانت اضطرابات اليوم ستستمر غدًا. فهو يصف قيم الدقة المُحتملة، وليس اعتمادها الزمني. يحتاج التنبؤ إلى نموذج إضافي لكيفية تطور الظروف.

يُمكن للشبكة العصبية أن تتعلم من الملاحظات السابقة للتنبؤ بمعلمات توزيع الغد. يُوضح DeepAR النهج الأوسع للتنبؤ الاحتمالي باستخدام الشبكات العصبية المتكررة (ساليناس وآخرون، 2020). يُعد استخدام شبكة مع مزيج غاما المُحدد أعلاه اقتراحًا للنمذجة، وليس نتيجةً توصل إليها DeepAR.

يُمكن أن تُجيب المُخرجات على سؤال عملي: ما هو احتمال أن تتجاوز مدفوعات الشركة بالدولار ميزانيتها في الشهر القادم؟ هذا أكثر فائدة للتخطيط من سعر صرف مُتوقع مُقدم إلى أربعة أرقام عشرية، كما لو أن الرقم العشري الرابع قد وقّع عقدًا.

هناك جانب إحصائي مُهم. ينتج عن مزيج التوزيع الطبيعي-جاما توزيع الطالب $t$ ، لذا فإن التنبؤ بمعاملات جاما الخاصة به يُعادل التنبؤ بمعاملات $t$ المقابلة لها مباشرةً. ولا يُضيف تغيير الترميز أي معلومات إضافية. ويجب أن ينبع أي تحسين في التنبؤ من العلاقات المُستنتجة أو قيود النمذجة المفيدة.

يحتاج علم الكم إلى دور محدد

حتى الآن، يرتبط هذا المجال بالاحتمالات والفيزياء الإحصائية. وهناك ارتباط آخر يتعلق بتدريب الشبكة.

يبحث التدريب عن الأوزان التي تقلل دالة الخسارة. تخيل مشهدًا يمثل فيه الارتفاع الخطأ. يستخدم التلدين الكمي التأثيرات الكمومية، بما في ذلك النفق الكمومي، لاستكشاف مسائل التحسين. درس أوزيكي وزملاؤه (2018) الاحتفاظ بالتقلبات الكمومية المحدودة في المرحلة النهائية من طريقة تحسين الشبكة. وأفادوا بتحسن التعميم في تجاربهم، بينما حدّت القيود الحسابية من الاختبارات واسعة النطاق.

هذا يُعطي الأفكار الكمومية دورًا موثقًا في التعلم. لكنه لا يُقدم أي دليل على أن تقلبات السوق مدفوعة بالتقلبات الكمومية، أو أن هذا التدريب يتنبأ بالأزمات الجيوسياسية. لقد طُلب من كلمة «كمومي» القيام بما يكفي من العمل غير المدفوع.

لا يزال يتعين على التنبؤ أن يكسب ثقتنا

ينبغي اختبار النموذج الاحتمالي على بيانات لاحقة غير متوفرة أثناء التدريب. كما تحتاج احتمالاته إلى معايرة: ففي العديد من الحالات المتشابهة التي تُخصص لها احتمالية 10%، ينبغي أن يحدث الحدث مرة واحدة تقريبًا من كل عشر مرات. وتساعد قواعد التقييم المناسبة، بما في ذلك النتيجة اللوغاريتمية ودرجة الاحتمالية المرتبة المستمرة، في تقييم التوزيعات التنبؤية الكاملة (غنايتنغ ورافتري، 2007).

عند احتمالية $50\%$ ، يرصد النموذج التوضيحي نحو $50$ حدثًا لكل $100$ تنبؤ في حالات متشابهة.

الشكل 2: تتبع نقاط النموذج المُعايَر الخط القطري؛ فالأحداث التي تُمنح احتماليةً معينة تقع بمعدل قريب منها عبر حالات متشابهة. الإزاحة هنا توضيحية، وليست بيانات مرصودة.

تتطلب الأحداث العالمية تعريفات خاصة بها، وآفاقًا زمنية محددة، وبيانات دقيقة. ولا يُحدد تفسير توزيع العائدات ذي الذيل السميك متى سيحدث نزاع أو انقطاع في الإمدادات.

ما تُقدمه هذه الروابط هو طريقة لتمثيل حالة عدم اليقين المتغيرة بشكل واضح، ومعرفة ما إذا كانت هذه التغيرات تحمل إشارات مفيدة. قد تبدو فترة التنبؤ الأوسع أقل إثارة للإعجاب من رقم موثوق. بالنسبة لمن يتخذ قرارًا حقيقيًا، فإن معرفة مدى موثوقية هذا الرقم قد يكون التنبؤ الأكثر قيمة.

المراجع

Cont, R. (2001). Empirical properties of asset returns: Stylized facts and statistical issues. Quantitative Finance, 1(2), 223–236. DOI.

Beck, C., & Cohen, E. G. D. (2003). Superstatistics. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 322, 267–275. DOI.

Beck, C., Cohen, E. G. D., & Swinney, H. L. (2005). From time series to superstatistics. Physical Review E, 72(5), 056133. DOI.

Xu, D., & Beck, C. (2016). Transition from lognormal to chi-square superstatistics for financial time series. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 453, 173–183. DOI.

Salinas, D., Flunkert, V., Gasthaus, J., & Januschowski, T. (2020). DeepAR: Probabilistic forecasting with autoregressive recurrent networks. International Journal of Forecasting, 36(3), 1181–1191. DOI.

Ohzeki, M., Okada, S., Terabe, M., & Taguchi, S. (2018). Optimization of neural networks via finite-value quantum fluctuations. Scientific Reports, 8, 9950. DOI.

Gneiting, T., & Raftery, A. E. (2007). Strictly proper scoring rules, prediction, and estimation. Journal of the American Statistical Association, 102(477), 359–378. DOI.

اقرأ المزيد